Review Khả vi là gì
Kinh Nghiệm Hướng dẫn Khả vi là gì Chi Tiết
Cao Nguyễn Bảo Phúc đang tìm kiếm từ khóa Khả vi là gì được Cập Nhật vào lúc : 2022-11-08 12:30:05 . Với phương châm chia sẻ Bí quyết Hướng dẫn trong nội dung bài viết một cách Chi Tiết 2022. Nếu sau khi tham khảo tài liệu vẫn ko hiểu thì hoàn toàn có thể lại Comment ở cuối bài để Admin lý giải và hướng dẫn lại nha.“Nếu hàm số y=f(x) có đạo hàm tại điểm xo thì nó liên tục tại điểm đó.
y
f '( xo ) .
x 0 x
Thật vậy, giả sử hàm số f có đạo hàm tại f’(xo), tức là lim
Ta có
y
y
.x lim
. lim y f '( xo ).0 0 .
x 0 x
x 0 x x 0
lim y lim
x 0
Do đó lim ( f ( x) f ( xo )) lim y 0 . Điều này chứng tỏ
x xo
x 0
lim f ( x ) f ( xo ) .
x xo
Từ đó suy ra rằng hàm số f liên tục tại điểm xo.”[GKNC11, tr.186]
Như vậy, mối liên hệ “hàm số khả vi tại một điểm thì liên tục tại điểm đó” được thể chế nêu
rõ trong SGK và lý giải rõ ràng. Tuy nhiên, mối liên hệ theo chiều ngược lại “Hàm liên
tục tại một điểm hoàn toàn có thể không khả vi tại điểm đó” không được đề cập trong phần bài học kinh nghiệm tay nghề.
Về vấn đề này, để rõ hơn, chúng tôi tham khảo thêm GVNC11:
Để giảm nhẹ kiến thức và kỹ năng, chương trình không yêu cầu xây dựng những khái niệm đạo hàm
một bên và đạo hàm trên một đoạn. Mặt khác, SGK không nhấn mạnh vấn đề “Quan hệ
giữa sự tồn tại đạo hàm và tính liên tục của hàm số tại một điểm” mà chỉ nêu tính
chất “Hàm số có đạo hàm tại xo thì liên tục tại điểm đó” như thể một nhận xét mà
thôi; điều đó không ảnh hưởng gì lớn đến những nội dung khác của Giải tích trong
chương trình THPT.[GVNC11, tr.226]
Trích dẫn đã cho tất cả chúng ta biết, lí do của việc không đề cập là để giảm nhẹ chương trình và noosphere
không nhấn mạnh vấn đề “quan hệ giữa sự tồn tại đạo hàm và tính liên tục của hàm số tại một
điểm”.
*Phần bài tập (vi trí HS)
Trong phần này chúng tôi không phân tích hết những tổ chức toán học liên quan mà chỉ
phân tích 2 bài tập liên quan mối liên hệ liên tục-khả vi:
“14.Cho hàm số y x .
a)Chứng minh rằng hàm số đã cho liên tục tại điểm x=0.
b)Tính đạo hàm của hàm số tại điểm x=0, nếu có.
c)Mệnh đề “Hàm số liên tục tại điểm xo thì có đạo hàm tại xo” đúng hay sai?
15.Hình 5.5 là đồ thị của hàm số
y=f(x) xác định trên khoảng chừng (a;b).
y
Dựa
vào hình vẽ hãy cho biết thêm thêm tại mỗi
điểm
x1, x2, x3 và x4:
a)Hàm số có liên tục hay là không?
b)Hàm số có đạo hàm hay là không?
Hãy
tính đạo hàm nếu có.”
[GKNC11, tr.195]
O
a
x1
x2 x3
x4
b
x
Với bài tập 14, SGV gợi ý như sau:
a) Hàm đã cho liên tục tại xo=0 vì
lim f ( x) lim x 0 f (0) .
x 0
x 0
Đồ thị là một đường “liền nét” khi đi qua điểm O(0;0).(h.5.7)
b)Đạo hàm của hàm số f ( x) x tại điểm xo=0 có hay là không, phụ thuộc vào
sự tồn tại của số lượng giới hạn
lim
x 0
f ( x ) f (0)
.
x0
Ta nhận thấy
lim
x
f ( x ) f (0)
x
lim lim 1 .
x 0 x
x 0 x
x0
lim
x
f ( x ) f (0)
x
lim lim
1 .
x 0 x
x 0 x
x0
lim
f ( x ) f (0)
f ( x ) f (0 )
lim
.
x 0
x0
x0
x 0
x 0
x 0
Suy ra số lượng giới hạn đang xét là không tồn tại, nghĩa là hàm số đã cho không còn
số lượng giới hạn tại điểm xo=0 ( vậy không còn tiếp tuyến của đồ thị hàm số đã cho tại
điểm O(0;0)). [GVNC11, tr.231]
Trích dẫn đã cho tất cả chúng ta biết, noosphere muốn HS biết rõ hàm đã cho liên tục tại x=0 nhưng không còn
đạo hàm tại x=0. Từ đó, HS nhận ra mệnh đề “Hàm số liên tục tại điểm xo thì có đạo hàm tại
xo” là không đúng. Trong gợi ý trên, ngoài việc xem xét sự liên tục và sự khả vi của hàm số
tại x=0 bằng định nghĩa, GVNC11 còn minh hoạ bằng đồ thị tuy nhiên đề bài không yêu cầu. Có
thể lý giải rằng, noosphere gợi ý GV nên sử dụng đồ thị để minh họa trong trường hợp
này. Đồ thị được đưa vào một mặt minh họa cho việc liên tục của hàm số (thông qua đặc
trưng liền nét) mặt khác minh họa cho việc hàm số không còn đạo hàm tại x=0 (đồ thị không
có tiếp tuyến tại O(0,0)), qua đó HS hoàn toàn có thể tưởng tượng một cách trực quan về hàm số liên tục
tại một điểm nhưng không khả vi tại điểm đó.
Với bài 15, GVNC12 gợi ý như sau:
Căn cứ vào hình 5.8 ta nhận thấy :
+ hàm đã cho gián đoạn tại những điểm x1 và x3 vì đồ thị hàm số bị đứt tại những điểm M1,
M3. Do đó tại những điểm x1, x3 hàm số không còn đạo hàm.
+ Hàm số đã cho liên tục tại những điểm x2, x4 vì đồ thị hàm số là đường “liền nét” khi
đi qua những điểm M2, M4.
+ Hàm số không còn đạo hàm tại điểm x2 vì tại điểm M2 đồ thị hàm số bị gãy ( và hiển
nhiên tại đó không còn tiếp tuyến), in như tại điểm (0;0) đối với đồ thị hàm số
y x .
+ Hàm số có đạo hàm tại điểm x4 và f’(x4)=0; vì tại điểm M4 đồ thị của hàm số có
tiếp tuyến và tiếp tuyến này song song với trục hoành.[GVNC11, tr.232]
Trích dẫn đã cho tất cả chúng ta biết, noosphere muốn dùng đồ thị làm công cụ để minh họa cho mối
quan hệ “liên tục và khả vi”. Mệnh đề “nếu hàm số y=f(x) có đạo hàm tại điểm xo thì nó liên
tục tại điểm đó” được đề cập thông qua x4, hàm số có đạo hàm và liên tục tại điểm này.
Không chỉ thế, mệnh đề tương đương với nó “nếu hàm số y=f(x) không liên tục tại điểm xo
thì nó không còn đạo hàm tại điểm đó” cũng khá được minh họa rõ. Cụ thể, hàm được cho không
liên tục tại x1 và x3 thể hiện qua “đồ thị hàm số bị đứt tại những điểm M1 và M3” và từ đó đi
đến kết luận “do đó tại những điểm x1, x3 hàm số không còn đạo hàm”.
Mối liên hệ “hàm số liên tục tại một điểm hoàn toàn có thể không khả vi tại điểm đó” được chỉ rõ
qua điểm x2. Hàm số liên tục nhưng không còn đạo hàm tại x2 vì đồ thị hàm số liền nét khi đi
qua M2 nhưng “bị gãy” tại điểm này. Ở đây, “điểm gãy” tạo tác động trực quan: tại hoành
độ điểm gãy, hàm số không còn đạo hàm. Lí do được đưa ra là tại điểm gãy đồ thị hàm số
không còn tiếp tuyến.
Như vậy, tuy nhiên không nhấn mạnh vấn đề mối liên hệ “liên tục-khả vi” và trong phần lí thuyết
không đề cập đến mối liên hệ “hàm liên tục tại một điểm hoàn toàn có thể không khả vi tại điểm đó”,
nhưng trong phần bài tập, noosphere lại minh họa rất rõ. Đặc biệt, hai bài trên đã cho tất cả chúng ta biết “đồ
thị” là công cụ đa phần được dùng để thể hiện những mối liên hệ trên. Tuy nhiên, từ đó về sau,
mối liên hệ trên không được đề cập trở lại cả trong lí thuyết lẫn bài tập. Nói cách khác, điều
kiện sinh thái của nó không hề nữa. Điều đó khiến chúng tôi đặt ra thắc mắc: liệu HS có nắm
rõ được những quan hệ này sẽ không? Cũng cần lưu ý thêm, trong chương 1, chúng tôi đã chỉ ra
một chướng ngại liên quan đến mối liên hệ này: Hàm số liên tục trên một khoảng chừng thì khả vi
trên khoảng chừng đó, trừ ra một số trong những hữu hạn điểm, do đó đối với HS, chúng tôi đặc biệt quan tâm
đến thắc mắc: tồn tại hay là không quan niệm “ hàm số liên tục tại điểm nào thì khả vi tại
điểm đó”?
2.3.2 SGK cơ bản
Khác với SGK nâng cao, mối liên hệ liên tục-khả vi được GKCB11 nêu thành một mục riêng:
“4. Quan hệ giữa sự tồn tại của đạo hàm và tính liên tục của hàm số
Ta thừa nhận định lí sau đây.
Định lí 1
Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm tại xo thì nó liên tục tại điểm đó
CHÚ Ý
a)Định lí trên tương đương với xác định :
Nếu hàm số y = f(x) gián đoạn tại xo thì nó không còn đạo hàm tại điểm đó
b)Mệnh đề đảo của định lí không đúng.
Một hàm số liên tục tại một điểm hoàn toàn có thể không khả vi tại điểm đó.
x 2 nêu x 0
Chẳng hạn hàm số f ( x)
nêu x 0
x
Liên tục tại x = 0 nhưng không còn đạo hàm tại
điểm đó.
Ta nhận xét rằng đồ thị của hàm số này là một
đường liền, nhưng bị “gãy” tại điểm O(0;0)
(h.62)” [GKCB11, tr150]
Như vậy, tính chất hàm số khả vi tại một điểm thì khả vi tại điểm đó được GKCB11 đề cập
qua việc công nhận định lí 1, không dừng lại ở đó, GKCB11 còn nêu rõ mệnh đề tương đương với
nó. Ở đây, GKCB11 đáp ứng một cách chứng tỏ hàm số không còn đạo hàm tại một điểm.
Điều này được lý giải trong GVCB11 như sau:
“[…]
Từ định lí trên, ta hoàn toàn có thể chứng tỏ được rằng nếu xo là vấn đề gián đoạn thì không
tồn tại đạo hàm của hàm số tại điểm đó.
Ví dụ 2.Chứng minh rằng hàm số
x 2 1 nêu x 0
f(x) 3
nêu x 0
x
Không có đạo hàm tại xo = 0.
Giải. Vì lim f ( x ) lim( x 2 1 ) 1 f ( 0 ),
x 0
x 0
lim f ( x ) lim x 3 0
x 0
x 0
Nên lim f ( x ) lim f ( x ) .
x 0
x 0
Do đó không tồn tại lim f ( x ) .
x 0
Vậy hàm số y = f(x) gián đoạn tại xo. Do đó, hàm số không còn đạo hàm tại điểm
đó.”[GVCB11, tr.151]
Mối liên hệ “hàm số khả vi tại một điểm hoàn toàn có thể không khả vi tại điểm đó” được GKNC11 nêu
tường minh, đi kèm là một ví dụ minh họa bằng đồ thị. Hình ảnh đồ thị liền nét nhưng bị
“gãy” tại điểm O(0;0) giúp HS tưởng tượng một cách trực quan về đồ thị của hàm số liên tục
tại một điểm nhưng lại không còn đạo hàm tại đó.
*Phần bài tập (vị trí HS)
Chỉ có một bài tập minh họa cho xác định “Nếu hàm số y = f(x) không liên tục tại xo thì
nó không còn đạo hàm tại điểm đó”
“4.Chứng minh rằng hàm số
( x 1 )2 nêu x 0
f(x) 2
nêu x 0
x
Không có đạo hàm tại điểm x = 0”[GKCB11, tr.156]
Các bài tập minh họa tính chất “hàm số khả vi tại một điểm hoàn toàn có thể không khả vi tại điểm
đó” không xuất hiện.
Như vậy, tuy phần bài học kinh nghiệm tay nghề đề cập đầy đủ và có minh họa rõ ràng bằng đồ thị mối liên hệ
liên tục-khả vi nhưng phần bài tập chỉ có duy nhất một bài tập liên quan đến mối liên hệ
này. Hơn nữa, bài tập này chỉ nhằm mục đích củng cố tính chất “hàm số bị gián đoạn tại điểm nào thì
không khả vi tại điểm đó”.
2.4 Kết luận chương 2
2.4.1 Đơn điệu-Liên tục
Mối liên hệ đơn điệu-liên tục chỉ được đề cập trong quá trình khái niệm liên tục hoạt động và sinh hoạt giải trí
ngầm ẩn với đặc trưng hàm số có đồ thị liền nét trên khoảng chừng đơn điệu. SGK nâng cao chú
trọng đến việc nghiên cứu và phân tích tính đơn điệu từ đồ thị của hàm số, điều này thể hiện rõ qua tầm
quan trọng của kiểu trách nhiệm Tđt (khảo sát sự biến thiên của hàm số từ đồ thị của nó). SGK
cơ bản chỉ nghiên cứu và phân tích tính đơn điệu của hàm số 1, hàm giá trị tuyệt đối của hàm bậc
nhất và bậc hai cùng với yêu cầu vẽ đồ thị của những hàm số này. Trong quá trình này, thể chế
chỉ đề cập những hàm số liên tục trên khoảng chừng đơn điệu của nó. Đến quá trình khái niệm liên
tục được giảng dạy tường minh, mối liên hệ này sẽ không được đề cập trở lại, đặc biệt không
có một lưu ý hay ví dụ và bài tập nào chỉ ra rằng “một hàm số đơn điệu trên I (khoảng chừng, nửa
khoảng chừng, đoạn) hoàn toàn có thể không liên tục trên I ”, việc minh họa bằng đồ thị đã không được tính
đến. Định lí về điều kiện đủ để một hàm số đơn điệu trên một khoảng chừng liên tục trên khoảng chừng
đó cũng không được đưa vào, hệ quả kéo theo là tính liên tục của những hàm sơ cấp cơ bản
trên tập xác định của chúng được công nhận. Từ những phân tích, chúng tôi phát biểu giả
thuyết sau về một ảnh hưởng của quan hệ thể chế lên quan hệ thành viên của HS:
Giả thuyết H1:
Đối với HS: hàm số đơn điệu trên K (khoảng chừng, nửa khoảng chừng, đoạn) thì liên tục trên
khoảng chừng đó.
2.4.2 Đơn điệu-Khả vi
Định nghĩa hàm số đơn điệu ở Lever phổ thông tương đương với định nghĩa đơn điệu
nghiêm ngặt ở bậc đại học. Vì vậy, trong 2 bô sách nâng cao và cơ bản, mối liên hệ đơn
điệu-khả vi chỉ là “vết” của định lí 2 về điều kiện cần và đủ để một hàm số đơn điệu ngặt
o
mà chúng tôi đã nêu ở chương 1 (Định lý 2: Cho f: I→R liên tục trên I, khả vi trên I . Để f
o
o
tăng nghiêm ngặt, điều kiện cần và đủ là: x I , f '( x ) 0 và x I , f’(x)=0 không chứa
bất kì một khoảng chừng có phần trong không rỗng nào.). Các phân tích đã cho tất cả chúng ta biết, thể chế nhấn
mạnh mối liên hệ giữa tính đơn điệu của một hàm số có đạo hàm và dấu của đạo hàm. Các
tổ chức toán học được xây dựng xoay quanh công nghệ tiên tiến gồm định lí về điều kiện đủ và định
lí mở rộng. Tính chất “một hàm số đơn điệu trên một khoảng chừng hoàn toàn có thể không khả vi trên
khoảng chừng đó” không được đề cập, đặc biệt, việc minh họa bằng đồ thị hoàn toàn có thể thực hiện khá
đơn giản nhưng không đươc thể chế tính đến. Với đặc trưng “những hàm số được xem xét luôn
khả vi trên khoảng chừng cần xét”, việc nghiên cứu và phân tích tính biến thiên của hàm số luôn nhờ vào cơ sở
tính và xét dấu đạo hàm, kĩ thuật dùng định nghĩa hoặc xét dấu tỉ số biến thiên không còn lí
do để tồn tại. Từ đó, chúng tôi rút ra những quy tắc sau của hợp đồng didactic đối với HS lớp
12:
R1: Khảo sát sự biến thiên của hàm số phải nhờ vào cơ sở xét dấu đạo hàm.
R2: HS không còn trách nhiệm phải kiểm tra tính khả vi của hàm số được cho
trên khoảng chừng đang xét khi giải những bài toán liên quan đến xét chiều biến thiên
của hàm số.
Đồng thời chúng tôi phát biểu một giả thuyết sau về một quan niệm của HS dưới tác
động của quan hệ thể chế:
Giả thuyết H2:
Đối với HS, hàm số đồng biến (nghịch biến) trên một khoảng chừng thì có đạo hàm và
đạo hàm không âm (không dương) trên khoảng chừng đó.
2.4.3 Liên tục-Khả vi
Mối liên hệ liên tục-khả vi được thể chế đề cập rõ, việc minh họa bằng đồ thị đã được tính
đến tuy có vài điểm khác lạ:
-Tính chất “hàm số khả vi tại một điểm thì liên tục tại điểm đó”: SGK nâng cao đưa ra tính
chất này cùng với chứng tỏ của nó và minh họa bằng đồ thị thông qua một bài tập. Tính
chất nó lại được SGK cơ bản thừa nhận. Thêm vào đó, SGK cơ bản cũng nêu rõ mệnh đề
tương đương “nếu hàm số y = f(x) gián đoạn tại xo thì nó không còn đạo hàm tại điểm đó” đi
kèm với minh họa bằng hàm số cho bởi công thức, tuy nhiên việc minh họa bằng đồ thị đã
không được tính đến.
-Tính chất “hàm liên tục tại một điểm hoàn toàn có thể không khả vi tại điểm đó”: SGK nâng cao
không nêu tường minh trong phần lý thuyết nhưng lại minh họa rõ trong phần bài tập, đặc
biệt là bằng đồ thị mang tính chất chất trực quan. SGK cơ bản nêu rõ trong phần lý thuyết và minh
họa rõ bằng đồ thị, nhưng lại không còn bài tập nào liên quan. Phần bài tập minh họa cho
mối liên hệ này quá ít (SGK nâng cao) thậm chí không còn bài tập (SGK cơ bản) khiến chúng
tôi nghi ngờ rằng HS sẽ không làm rõ mối liên hệ này. Chúng tôi đặt ra câu hỏi liên quan
đến mối liên hệ này: HS có quan niệm “hàm số liên tục tại điểm nào thì khả vi tại điểm
đó” không?
Tải thêm tài liệu liên quan đến nội dung bài viết Khả vi là gì Hỏi Đáp Là gì Differentiable là gì F(x) là gì Đạo hàm Wiki
Post a Comment